Inhalt
Im ersten Teil der Vorlesung werden Grundbegriffe elementar eingeführt:
Primfaktorzerlegung, Teilbarkeit, Rechnen mit Kongruenzen, quadratische
Reste. Dabei werden unter anderem der kleine Satz von Fermat, der Satz
von Euler, der Chinesische Restsatz und das quadratische
Reziprozitätsgesetz bewiesen. Im zweiten Teil werden Methoden der
Analysis eingesetzt, um die Verteilung der Primzahlen zu untersuchen und
insbesondere den von Gauß vermuteten Primzahlsatz zu beweisen, der
besagt, dass es zwischen 1 und n ungeführ n/ln(n) viele Primzahlen gibt.
Kapitel 1: Teilbarkeit und Primzahlen.
Montag, 15.Oktober: Teilbarkeit, Primzahlen, Satz von Euklid,
Primzahlfunktion, Fundamentalsatz der Arithmetik.
Mittwoch, 17.Oktober: Analytischer Beweis des Satzes von Euklid,
Euler-Produkt, Riemannsche Ζ-Funktion, ggT und kgV, Euklidischer
Algorithmus.
Montag, 22.Oktober: Nochmal Fundamentalsatz der Arithmetik, eine diophantische
Gleichung.
Kapitel 2: Kongruenzen.
Montag, 22.Oktober: Kongruenzen, Teilbarkeit durch 3,9 und 11.
Mittwoch, 24.Oktober: Kongruenzengleichungen, multiplikative Ordnung,
Kleiner Satz von Fermat, Eulersche φ-Funktion, Satz von Euler.
Montag, 29.Oktober: Eigenschaften der Eulerschen φ-Funktion,
Chinesischer Restsatz, Satz von Wilson, Kryptographie: RSA-Verfahren.
Kapitel 3: Polynomiale Kongruenzen, Primitivwurzeln und quadratische
Reste.
Übungsblätter
Glossar
Scheinklausur
Die Scheinklausur findet am Mittwoch, den 16.1.2013, um 13:30 Uhr in
Raum 7.02 (Pfaffenwaldring 7, nicht 57) statt. Die Dauer der Klausur
beträgt 90 Minuten und umfasst den Stoff bis zu den Weihnachtsferien.
Literatur
Die Vorlesung folgt keinem Buch direkt, daher ist die Hauptquelle und
beste Referenz natürlich die eigene Mitschrift der Vorlesung. Zur
Vertiefung und für weitere Beispiele können aber die folgenden Bücher verwendet werden (deren Inhalt aber teils erheblich von dem dieser
Vorlesung abweichen kann):
- Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie
- Harold Davenport, The higher arithmetic. An introduction to the theory of numbers.
- Jörg Brüdern, Einführung in die analytische Zahlentheorie
- Benjamin Fine, Gerhard Rosenberger. Number theory. An introduction via the distribution of primes.